代数Ⅱ
体論と代数方程式論の入門―
043-A-621

担 当 者 単 位 数 配当年次 学 期 曜 日 時 限
中野 伸 教授 2 3~4 第2学期 2

授業概要

古典的な方程式論は、体の代数拡大の理論を枠組みとすることでより明確に理解できる。本講義では、代数拡大の特徴づけからはじめ、多項式の根と代数拡大との関連、体の間の同型写像、自己同型群について詳述する。さらに余裕があれば、方程式の可解性とその基礎となるガロア理論について述べる。

到達目標

方程式論を代数拡大の諸概念(拡大次数、共役元、自己同型群)を通して理解できるようになる。

授業計画

1 序論、3次および4次方程式の古典的解法
2 体の拡大、拡大次数
3 代数的元
4 最小多項式
5 代数拡大
6 多項式の根による拡大
7 最小分解体
8 分離拡大と原始元の存在
9 体の同型写像
10 正規拡大と自己同型群
11 ガロア拡大
12 ガロア対応の原理
13 円分拡大とクンマー拡大
14 方程式の可解性
15 理解度の確認
細かい内容については変更するかもしれない。また、必ずしも上記の順序で進むとは限らない。

授業方法

講義形式、毎回出席してノートをとり予習復習することが要求される。

準備学習

線形代数学、群論、可換環論の基本概念(基底、次元、剰余群、剰余環など)についてしっかりと復習しておくこと。
毎回の授業においては、前回までの内容を理解しておくこと(30分以上)。
指示に従って、予習をしておくこと。

成績評価の方法

第2学期(学年末試験):90%
平常点(クラス参加、グループ作業の成果等):10%

教科書

教科書は用いない。必要に応じて、プリントを配布して参考資料とする。

参考文献

桂 利行『代数学3 体とガロア理論』、東京大学出版会2005年、ISBN=9784130629539
その他の参考文献は、講義中に紹介する。

履修上の注意

第1回目の授業に必ず出席のこと。

その他

講義や文献の内容をそのまま鵜呑みにせず、つねに疑い、手を動かし計算して確かめ、腑に落ちるまで時間をかけて学習すること。