代数Ⅰ
群論、可換環論の入門―
043-A-611

担 当 者 単 位 数 配当年次 学 期 曜 日 時 限
中野 伸 教授 2 3~4 第1学期 2

授業概要

代数学の基本である群と環の抽象理論の入門。群の公理から始め、部分群、剰余類分解、位数、指数、共役類、正規部分群と剰余群などの基本概念を解説し、とくに有限群について詳述する。また、整数や多項式が作る集合を主要な例として、可換環の理論を展開する。整除関係、割り算の定理、素元と既約元、イデアルと剰余類、剰余環などの基本概念を講義する。抽象的な議論に慣れ親しみ、より高度な代数学への橋渡しとする。

到達目標

群の定義を理解し、群論における抽象的な演算に慣れ、計算できるようになる。
群論の基本的な概念(部分群、剰余類、剰余群)を理解し、応用できるようになる。
整数や多項式における諸性質を、可換環の抽象的な概念を通して理解できるようになる。
イデアルの定義や性質を理解し、応用できるようになる。

授業計画

1 二項演算と群の定義、様々な群の例示
2 部分群と剰余類
3 剰余類分解とラグランジュの定理
4 正規部分群と剰余群、直和
5 群の準同型写像と準同型定理
6 有限生成アーベル群の構造
7 シローの定理とその応用
8 可換環、整域、体の定義
9 部分環、直積、イデアル
10 整数環、多項式環、PID、UFD
11 素元と既約元、素イデアルと極大イデアル
12 剰余環、可換環の準同型写像と準同型定理
13 既約多項式、アイゼンシュタインの定理
14 整域の標数、有限体
15 理解度の確認
細かい内容については変更するかもしれない。また、必ずしも上記の順序で進むとは限らない。

授業方法

講義形式。毎回出席してノートをとり予習復習することが要求される。

準備学習

整数の合同式に関する基本概念(整除関係、剰余類など)についてしっかりと復習しておくこと。
毎回の授業においては、前回までの内容を理解しておくこと(30分以上)。
指示に従って、予習をしておくこと(30分以上)。

成績評価の方法

第1学期(学期末試験):60%
中間テスト:35%
平常点(クラス参加、グループ作業の成果等):5%
「代数Ⅰ演習」とあわせた同一の評価

教科書

教科書は用いない。必要に応じて、プリントを配布して参考資料とする。

参考文献

桂 利行『代数学1 群と環』、東京大学出版会2004年、ISBN=9784130629515
その他、講義中に必要に応じて紹介する。

履修上の注意

第1回目の授業に必ず出席のこと。

その他

講義や文献の内容をそのまま鵜呑みにせず、つねに疑い、手を動かし計算して確かめ、腑に落ちるまで時間をかけて学習すること。