線形代数Ⅱ 数1年
043-A-122

担 当 者 単 位 数 配当年次 学 期 曜 日 時 限
赤尾 和男 教授
岡本 周一 助教
河本 史紀 助教
6 1 第2学期

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授業概要

「線形代数Ⅰ」に続き、ベクトル空間および線形写像に関する基礎概念について述べる。1次独立性、基底、次元等の概念からはじめ、線形写像の性質について述べ、さらに、固有値と固有ベクトル、対角化、2次形式の標準形について解説する。「Ⅰ」では主に行列や行列式の計算法に重点が置かれたが、「Ⅱ」ではそれらの持つ意味を正確に理解し自由に使えるようにすることを目標とする。
 また毎週1回(水曜2限)はそれまでの講義内容に即した演習を毎回事前に配布された問題により行う。

到達目標

「線形代数Ⅰ」で学んだ行列や行列式の計算法を基礎に、抽象的な「ベクトル空間」と「線形写像」の概念を身に着け、それらの持つ意味を正確に理解し自由に応用することができるようになる。

授業計画

1 ベクトル空間の定義
2 線形写像の定義
3 部分空間
4 線形写像の核と像
5 1次結合、線形関係、生成される空間
6 1次独立性および1次従属性
7 生成系、基底、次元
8 行列と線形写像
9 部分空間の包含関係と次元
10 次元公式
11 行列の固有値と特性多項式
12 行列の固有ベクトル、固有空間
13 行列の対角化
14 対角化の応用
15 線形写像の表現行列
16 基底変換
17 線形写像の正則性、階数
18 線形写像の固有値と特性多項式
19 内積、正規直交基底
20 シュミットの正規直交化
21 直交補空間
22 直交行列
23 実対称行列の固有値
24 直交行列による実対称行列の対角化
25 2次形式の定義
26 2次形式の標準形
27 シルヴェスターの慣性則
28 2次曲面の分類
29 ベクトル空間の同型、直和
30 まとめと達成度の確認
上記の30回分の内容は、火曜2限および木曜2限の講義内容である。水曜2限(15回)は、毎回この講義内容に即した演習を行う。従って全部で45回の授業が行われる。なお講義は必ずしも上に書かれた順に行われるとは限らない。

授業方法

週2回の講義は板書により行う。
週1回の演習は事前に配布された問題につき、授業時に学生が、黒板に自身の解答を書き、それに基づいて、講評、説明を行う。

準備学習

講義については予習は特に必要ないが、前回までの講義の内容をしっかり復習し、考え方の基本を身に着けておくこと。演習については、配布された問題につき、全問、必ず自分で解答を作成したうえで授業に臨むこと。

成績評価の方法

第2学期(学年末試験):35%(学期全体を通じての講義の内容の理解度を判定する。)
中間テスト:35%(学期前半の講義内容の理解度を判定する。)
平常点(クラス参加、グループ作業の成果等):5%(演習における参加状況)
演習におけるテスト:25%(演習を通じた講義内容の理解度を判定する。)

教科書

三宅敏恒『線形代数学 - 初歩からジョルダン標準形へ』、培風館2008年、ISBN=9784563003814

参考文献

講義中、適宜指示する。