微分積分Ⅲ 数2年

043-A-211

担 当 者 単 位 数 配当年次 学 期 曜 日 時 限
赤尾 和男 教授
岡本 周一 助教
渡辺 一雄 助教
6 2 第1学期

5
4
5

授業概要

「微分積分Ⅱ」に引き続き微分積分について講義する。前半は偏微分とその応用について、「微分積分Ⅰ」の復習も含めて講義する。後半は重積分を中心にし、さらに2学期に学ぶ「ベクトル解析」への橋渡しとして、平面の線積分にも触れる。

授業の目的・内容

偏微分、重積分などの多変数の微分積分の基本を理解、修得することにより、解析や幾何の進んだ内容を学ぶための基礎を身に着けることができる。

授業計画

1 多変数関数の極限値、連続性
2 偏微分
3 方向微分、全微分
4 合成関数の微分法、連鎖律
5 高い階数の偏導関数
6 テイラーの定理
7 陰関数定理
8 多変数の陰関数と逆変換
9 2次対称行列の固有値
10 2変数関数の極大・極小(1)定式化
11 2変数関数の極大・極小(2)いくつかの例
12 条件付きの最大・最小(1)ラグランジュの未定乗数法
13 条件付きの最大・最小(2)いくつかの例
14 まとめ
15 中間の理解度の確認
16 重積分の概念
17 累次積分
18 重積分の変数変換(1)ヤコービ行列式
19 重積分の変数変換(2)いくつかの例
20 広義の重積分(1)定義
21 広義の重積分(2)いくつかの例
22 広義重積分の順序交換
23 パラメータを含む広義積分の連続性
24 パラメータを含む広義積分の微分可能性
25 一変数広義積分の計算への応用
26 ベクトル場と外積、ベクトル場の勾配
27 平面曲線
28 平面上の曲線積分
29 ガウス・グリーンの定理(平面領域の場合)
30 理解度の確認
上に記したのは月曜5限および金曜4限の講義内容(30回分)である。金曜5限は講義内容に即した演習(15回)を行う。演習は、事前に配布される問題の解答を各自あらかじめ作成して発表する形で行う。

授業方法

月曜5と金曜4は講義形式で板書によって行う。月曜5は演習形式で行う。

準備学習

収束や連続性の定義、一様連続性、関数列の一様収束など、微分積分Ⅰで学んだ内容をしっかり復習してよく理解しておくこと。講義の予習は必要ないが、前回までの講義の内容、考え方をしっかり復習して授業に臨むこと。また金曜日に行われる演習は、事前に配布される問題全ての解答を必ずあらかじめ準備して授業に臨むこと。

成績評価の方法

第1学期(学期末試験):35%(講義の内容の理解度を判定する。)
中間テスト:35%(講義前半の内容の理解度を判定する。)
平常点(クラス参加、グループ作業の成果等):5%(演習における参加状況)
演習におけるテスト:25%(演習を通じた講義内容の理解度を判定する。)

小林昭七『続微分積分読本ー多変数ー』、裳華房2001年、ISBN=978-4785315269
平成28年度の「微分積分Ⅰ」でも教科書に挙がっていたものです。

藤田宏『大学での微分積分Ⅱ』、岩波書店2007
高木貞治『解析概論』、岩波書店1983
黒田成俊『微分積分』(共立講座 21世紀の数学)、共立出版2002
吹田信之、新保経彦『理工系の微分積分学』、学術図書出版社2007