微分積分Ⅰ 数1年
043-A-111

担 当 者 単 位 数 配当年次 学 期 曜 日 時 限
谷島 賢二 教授
渡辺 一雄 助教
河本 史紀 助教
6 1 第1学期

3
5
3

授業概要

微分積分学は解析学の基礎であると同時に数学全般のみならず自然科学・工学に欠かせない道具である。さらに、数学科での微分積分は、極限とか連続性とか「無限」にまつわる理論・論理に初めて直面する場であり、そこでの修練が数学科で数学的な考え方を広く学ぶための基礎となることが期待されている。この講義と演習では、微分積分のこの性格をふまえて、基礎(論理)と応用(計算)をバランスよく学ぶことをモットーとするが、基礎的理解を徹底することにやや重点を置くことになろう。

到達目標

微分積分を学び、数列や関数についての概念と基本定理を理解することを目標とする。

授業計画

1 実数の連続性の公理、有界な単調数列
2 上限・下限
3 数列の極限、部分数列
4 集積点、ワイエルシュトラスの定理
5 上極限、下極限
6 コーシー列、コーシーの条件と数列の極限
7 無限級数理論、正項級数、絶対収束、条件収束
8 無限級数の収束判定法
9 関数の極限値、連続関数
10 連続関数の性質、最小値・最大値の存在
11 連続関数の性質、中間値の定理
12 逆関数、逆三角関数
13 連続関数、一様連続性
14 微分積分の基礎理論:導関数と原始関数
15 微分法の演算、合成関数の微分法
16 逆関数の微分法、逆三角関数の微分
17 高階導関数, 極値
18 中間の理解度の確認
19 微分法の理論、平均値の定理
20 テイラーの定理、テーラー展開
21 指数関数と三角関数のテーラー展開
22 指数関数と三角関数のの関係、オイラーの公式
23 一般二項定理
24 多変数関数, その極限値と連続性
25 偏微分. 方向微分, 全微分
26
27 多変数関数のテーラーの定理
28 2変数関数の最大最小(1)
29
30 理解度の確認
以上は1学期における講義の重要項目で実施回ごとの講義の内容ではない。30回の講義の他に15回の演習がある。演習では講義内容に即した演習を行い、理解を深めるとともに応用力をつける。

授業方法

板書による講義形式。毎週2回の講義と1回の演習があるがその一部だけを履修することはできない。講義中あるいは演習の中で数回の小テストを行う。

準備学習

最低2時間の予習と復習を行い、配布されたプリントをあらかじめ読み、演習問題を自力で解いてみること。

成績評価の方法

第1学期(学期末試験):40%
中間テスト:30%
演習:30%
小テストの成績を期末ならびに中間試験の評価に加味する。

教科書

授業中に配布するプリントを用いる。

参考文献

黒田成俊『微分積分』(21世紀の数学)、共立出版2002
高木貞治『解析概論』、岩波書店
黒田成俊著「微分積分」は理論の解説が丁寧で読みやすい。自分の力で学習する人に向いている。この本の定理の証明などの記述法と表現法は、学生諸君が答案の解答をしたりレポートの作成をしたりする際の記述の模範となる。高木貞治著「解析概論」は大事なことが簡潔に大変うまく書いてある。内容豊富な名著で、これ一冊の内容を完全に理解すれば、どこに出ても恥ずかしくない。文章もすばらしいが言葉使いがやや古めかしいかもしれない。また4年生になっても使える。

履修上の注意

第1回目の授業に必ず出席のこと。